בגרות 571 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5טריגונומטריה 571 · שיעור 51
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC (∢ABC = 90 מעלות). על הצלע AC בנו משולש נוסף ACD כך ש־AC הוא חוצה זווית BAD.
נסמן: AB = k, ואת הזווית ∢CAB (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נכתוב ∢CAB).
א. הביעו באמצעות k ו־∢CAB את האורך של AC.
נתון: CD = √3.25 · k , AD = 1.5 · k.
ב. חשבו את הערך של ∢CAB.
📄 נוסח השאלה · המשך
הציבו ∢CAB = 60 מעלות וענו על סעיפים ג–ד. הנקודה M היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC.
ג. הביעו באמצעות k את רדיוס המעגל החסום במשולש ABC.
הנקודה E היא מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC. נתון: ME = 4.
ד. מצאו את k.
סעיף א – האורך AC
במשולש ישר הזווית ABC: AC היתר, ו־AB = k הניצב ליד הזווית ∢CAB.
cos∢CAB = ABAC
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
נציב AB = k:
cos∢CAB = kAC
AC = kcos∢CAB
✅ פתרון סופי: AC = kcos∢CAB
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף ב – גודל הזווית
AC חוצה את ∢BAD, ולכן ∢CAD = ∢CAB.
נוריד גובה CH מ־C לצלע AD. נקבל משולש ישר זווית ACH שבו AC היתר:
AH = AC · cos∢CAB
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
נציב AC = kcos∢CAB:
AH = kcos∢CAB · cos∢CAB = k
CH = AC · sin∢CAB
📐 נוסחה: tan
📐 נוסחה: cos במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 נוסחה: tan
tan = sincos
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
CH = AC · sin∢CAB
📐 נוסחה: tan
נציב AC = kcos∢CAB:
CH = kcos∢CAB · sin∢CAB = k · sin∢CABcos∢CAB
CH = k · tan∢CAB
AH = k < 1.5k = AD, לכן H בין A ל־D:
HD = AD − AH
📐 נוסחה: tan
tan = sincos
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
HD = AD − AH
נציב AD = 1.5k ו־AH = k:
HD = 1.5k − k = 0.5k
CD2 = CH2 + HD2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש CHD
נציב CH = k · tan∢CAB , HD = 0.5k ו־CD2 = 3.25k2:
3.25k2 = (k · tan∢CAB)2 + (0.5k)2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס במשולש CHD
a2 + b2 = c2
סעיף ב – גודל הזווית · המשך
3.25k2 = (k · tan∢CAB)2 + (0.5k)2
3.25k2 = k2 tan2∢CAB + 0.25k2
tan2∢CAB = 3.25 − 0.25 = 3
tan∢CAB = √3 (זווית חדה)
∢CAB = 60 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢CAB = 60 מעלות
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום
עבור ∢CAB = 60 מעלות: AC = kcos60 = 2k ו־BC = AB · tan60 = √3k.
נסמן ב־r את רדיוס המעגל החסום. נקודות ההשקה על הניצבים יוצרות עם B ו־M ריבוע (כי ∢B = 90 מעלות והרדיוסים מאונכים למשיקים), ולכן קטעי המשיקים מ־B שווים ל־r.
קטעי המשיקים: מ־A – k − r, מ־C – √3k − r.
📐 משפט
נסמן ב־T את נקודת ההשקה על היתר. היתר AC מורכב משני קטעי משיקים (מ־A ומ־C):
AT + TC = AC
📐 משפט
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה
סעיף ג – רדיוס המעגל החסום · המשך
AT + TC = AC
נציב AT = k − r , TC = √3k − r ו־AC = 2k:
(k − r) + (√3k − r) = 2k
2r = √3k − k
r = (√3 − 1)k2 ≈ 0.366k
✅ פתרון סופי: r = (√3 − 1)k2
סעיף ד – מציאת k
המשולש ישר זווית, ולכן מרכז המעגל החוסם E הוא אמצע היתר AC: AE = AC2 = k.
📐 משפט
נסמן ב־T את נקודת ההשקה של המעגל החסום על AC. קטע המשיק מ־A הוא AT = k − r, ולכן:
TE = AE − AT
נציב AE = k ו־AT = k − r:
TE = k − (k − r) = r
📐 משפט
במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
סעיף ד – מציאת k · המשך
TE = k − (k − r) = r
MT ⊥ AC (רדיוס לנקודת השקה), ולכן המשולש MTE ישר זווית עם ניצבים MT = r ו־TE = r:
ME2 = MT2 + TE2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
נציב MT = TE = r:
ME2 = r2 + r2 = 2r2
ME = r√2
📐 נוסחה: משפט פיתגורס
a2 + b2 = c2
סעיף ד – מציאת k · המשך
ME = r√2
נציב ME = 4 (נתון):
4 = r√2
r = 4√2 = 2√2
נציב את r מסעיף ג:
(√3 − 1)k2 = 2√2
סעיף ד – מציאת k · המשך
(√3 − 1)k2 = 2√2
k = 4√2√3 − 1
נכפול מונה ומכנה ב־(√3 + 1), כדי להיפטר מהשורש שבמכנה:
k = 4√2(√3 + 1)2
k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
✅ פתרון סופי: k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
📌 סיכום התשובות
סעיף א
AC = kcos∢CAB
סעיף ב
∢CAB = 60 מעלות
סעיף ג
r = (√3 − 1)k2
סעיף ד
k = 2√6 + 2√2 ≈ 7.73
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא